MDC

Divisores comuns e o mdc

         Vamos resolver este problema?2
         Um teatro está em fase final de construção. Ele terá três
setores para acomodar o público:

          • setor A, de frente para o palco, com 135 lugares;          • setor B, na lateral direita do palco, com 105 lugares;          • setor C, na lateral esquerda do palco, com 90 lugares.
        O número de poltronas por fileira será o mesmo nos três setores e esse número deve ser o maior possível.
        Quantas fileiras de quantas poltronas haverá em cada setor?
        Como o número de poltronas em cada fileira deve ser o mesmo nos três setores, ele deve ser ao mesmo tempo divisor de 135, 105 e 90.

        Os números 1, 3, 5 e 15 são os divisores comuns de 135, 105 e 90.

         Como queremos que esse divisor seja o maior possível, escolhemos o 15. Então, 15 é o máximo divisor comum de 135, 105 e 90.

         

         Escrevemos abreviadamente assim:  

         Logo, as fileiras devem ter 15 poltronas. 

         E quantas serão as fileiras?

Também podemos determinar o mdc de dois ou mais números por meio da decomposição em fatores
primos.  

         Marcamos os fatores primos comuns a 120 e 84.
         O mdc será o produto destes fatores: 

mdc (120, 84) = 2 . 2 . 3 

mdc (120, 84) = 12.

       Se a forma fatorada for escrita usando potências, o mdc será o produto dos fatores comuns, tomados com o menor expoente.
         120 = 2³ . 3 . 5
         84 = 2² . 3 . 7  

        mdc (120, 84) = 2² . 3 . 12  

Agora é sua vez

Qual é?a) mdc (35, 10)
b) mdc (18, 30)
c) mdc (15, 40)
d) mdc (22, 46)
e) mdc (85, 75)
f) mdc (20, 130) 

Situações - Problema

1) O senhor Sebastião tem uma banca de frutas na feira. Nela há uma penca com 18 bananas e outra com 24 bananas. Ele quer dividir as duas em montes iguais. Qual é o maior número possível de bananas em cada monte?

R: Cada monte terá 6 bananas

2) Dois rolos de corda, um de 200 metros e outro de 240 metros de comprimento, precisam ser cortados em pedaços iguais e no maior

comprimento possível.

R: Cada corda vai ser dividida em partes de 40 m cada dos quais 5 serão do rolo de 200 m e 6 do rolo de 240 m.


CADERNO DO ALUNO

Resolução:6.1 Em uma escola, há 240 alunos no 7º ano, 288 no 8º ano e 120 no 9º ano. Haverá uma semana cultural, em que todos os alunos serão distribuídos em equipes, sem que se misturem alunos de anos diferentes. Qual será o máximo de alunos que pode haver em cada equipe nessas condições?

Encontrar os divisores de 240, 288 e 120:
D (240) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240}
D (288) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288}
D(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}
Note que o número 24 é o maior número comum a todos os divisores, portanto o número máximo de alunos que poderá haver em cada equipe é 24. Ao socializar, formalize o conceito de Máximo Divisor Comum e as formas de indicar esse número.  

6.2 No quadro a seguir, pinte em cada linha os divisores, conforme indicado:  

6.3 Faça uma análise do quadro em relação aos números que você pintou. Registre suas observações:
Na linha dos divisores comuns apareceu apenas os números que se repetiram entre os divisores de 4, 6 e 12. Na linha do MDC foi destacado apenas o maior divisor comum entre 4, 6 e 12.
6.4 Um médico receitou a um paciente que tomasse três medicamentos. Um dos remédios deveria ser tomado de 2 em 2 horas, um outro remédio de 3 em 3 horas e o terceiro remédio
de 6 em 6 horas. Suponha que o paciente tenha iniciado o tratamento tomando os três remédios juntos; daqui a quantas horas tomará os três remédios juntos novamente?
Escrever os múltiplos de 2, 3 e 6.
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} para o remédio 1.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} para o remédio 2.
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, ...} para o remédio 3.
Vamos supor que o paciente tenha tomado os três remédios juntos à 00:00, note que ás 6:00
todos os remédios serão tomados juntos, ou seja, 6 horas após terem tomado os remédios juntos
pela 1º vez.
Outra resolução: O cálculo do MMC (2, 3, 6) = 6 horas, buscando os múltiplos comuns de 2, 3, e 6 e escolher o menor, sem aplicação de algoritmos

6.5 Numa fábrica de retalhos sobraram algumas tiras de 90 cm de comprimento e outras de 75 cm de comprimento. O patrão deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?
Calculando o MDC(90, 75) = 15 cm.
Os retalhos deverão ser cortados em pedaços de 15 cm cada um.

6.6 Leia as sentenças a seguir, assinalando V (verdadeiro) ou F (Falso) e justificando sua resposta.
a) ( V ) 50 é múltiplo de 5.
Verdadeiro. Os múltiplos de 5 são: M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ...}.

Note também que 50 é divisível por 5.
b) (F ) 79 é divisível por 5.
Falso. Na divisão de 79 por 5 obtemos resto 4, não sendo uma divisão exata.
c) ( F) 4 é divisor de 25.
Falso. Pois quando dividimos 25 por 4 obtemos resto 1, não sendo uma divisão exata.
d) ( F) 105 não é divisível por 8.
Falso. Na divisão de 105 por 8 obtemos resto 1, não sendo uma divisão exata.
e) (F ) 144 não é múltiplo de 3.
Falso, pois 144 é divisível por 3.