1. Sequência dos múltiplos de um número
O que é ser múltiplo de um número?
Vamos usar a Matemática para ajudar a encontrar as respostas para essa questão.
0, 7, 14, 21, 28, ... é a sequência dos múltiplos naturais de 7
.
Ela é obtida multiplicando-se os números naturais por 7.
A sequência dos múltiplos naturais de 7 é infinita.
Como saber se um número é múltiplo de outro?
Para saber se um número é divisível pelo outro basta efetuar a divisão e verificar se o resto é zero.
Para saber se 805 é múltiplo de 7, basta verificar se existe um número natural que multiplicado por 7 dê 805.
Descobrimos que 115 . 7 = 805.Então 805 é múltiplo de 7.
Da mesma forma, podemos verificar que 1035 não é múltiplo de 7, pois 1035 : 7 não é uma
divisão exata.
divisão exata.
Exemplos
1) a sequência dos múltiplos de 6;
M(6) = 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
2) a sequência dos múltiplos de 11;
M(11) = 0, 11, 22, 33, 44, ...
3) a sequência dos múltiplos de 1;
M(1) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Fatores ou divisores de um número natural
Dizer 24 é múltiplo de 4 é o mesmo que dizer 4 é divisor de 24, ou ainda que 4 é fator de 24.
Vamos escrever 24 como produto de dois números naturais.
Vamos escrever 24 como produto de dois números naturais.
Temos as seguintes possibilidades:
Portanto D(24) = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Veja outros exemplos:
1. Divisores ou fatores de 15
15 . 1 = 15
15 . 3 = 5
1. Divisores ou fatores de 15
15 . 1 = 15
15 . 3 = 5
D(15) = 1, 3, 5, 15
2. Divisores ou fatores de 33:
33 . 1 = 33
33 . 3 = 11
D(33) = 1, 3, 11, 33
3. Divisores ou fatores de 17:
17 . 1 = 17
D(17) = 1, 17
Divisores de um número natural pela decomposição em fatores primos
Agora veremos um método algébrico de determinar os divisores de um número pela decomposição em fatores primos.Vejamos os divisores de 60
CADERNO DO ALUNO
Resolução
1.1 Elabore um mapa com as ideias de divisores de um número natural.
Ao programar o painel não se levou em consideração o fato de que alguns números são ao mesmo tempo múltiplos de 2 e 3, como por exemplo, o número 6. Neste caso, a lâmpada não poderá atenderá as duas ordens simultaneamente: ficar acesa e piscar simultaneamente. Dizemos, neste caso, que o painel não funcionará como o esperado, pois temos números que são múltiplos comuns de 2 e 3 ao mesmo tempo, como 6, 12, 18, 24, 30. 36, 42 e 48.
2.1 Por que o painel não tem uma lâmpada identificada com o número 1? Justifique
Observe que foi retirado o número 1 do painel, pois ele não é múltiplo de nenhum número, e ao mesmo tempo é divisor de todos os números, nesse caso, se fosse considerado o número 1, essa lâmpada ficaria acesa o tempo todo ou apagada, pois não atenderia a nenhum comando.
2.2. Como poderia ser uma programação do painel para que funcionasse conforme planejado?
Por exemplo: ficar acesa permanente as luzes nas posições dos divisores de 45 (3, 5, 9,15 e 45) e piscar as posições dos divisores de 32 (2, 4, 8,16 e 32), não tendo múltiplos comuns. Outras possibilidades podem aparecer, atenção para que não haja múltiplos comuns.
2.3 Considerando a ideia de múltiplo e divisores, determine:
a) Os múltiplos de 4, por meio de um conjuntoOs múltiplos de 4, por meio de um conjunto. M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, ...}, nota-se que este conjunto é infinito.
b) Os divisores de 36, por meio de um conjunto
Os divisores de 36, por meio de um conjunto. D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
D (144) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}, uma possível estratégia: O número 36 é par, então 36 é divisível por 2 que resulta em 18 e resto zero, isto mostra que 2 e 18 são divisores de 36. Outra estratégia, seria a aplicação dos critérios de divisibilidade. Os estudantes podem apresentar diferentes estratégias.
2.5 Agora é o momento de você escrever o que entendeu sobre o significado de um múltiplo e um divisor de um número. Dê alguns exemplos.
Registrem o que aprenderam
2.3 Considerando a ideia de múltiplo e divisores, determine:
a) Os múltiplos de 4, por meio de um conjuntoOs múltiplos de 4, por meio de um conjunto. M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, ...}, nota-se que este conjunto é infinito.
b) Os divisores de 36, por meio de um conjunto
Os divisores de 36, por meio de um conjunto. D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
D (144) {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144}, uma possível estratégia: O número 36 é par, então 36 é divisível por 2 que resulta em 18 e resto zero, isto mostra que 2 e 18 são divisores de 36. Outra estratégia, seria a aplicação dos critérios de divisibilidade. Os estudantes podem apresentar diferentes estratégias.
2.5 Agora é o momento de você escrever o que entendeu sobre o significado de um múltiplo e um divisor de um número. Dê alguns exemplos.
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