Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando termina em 0 ,2 ,4 ,6 ou 8.
Observe alguns números divisíveis por 2.
Note que, ao adicionar os algarismos de cada um desses números, obtemos um número divisível por 3 pois.
Vejamos de 3 é um dos divisores de 132
Observe alguns números divisíveis por 2.
22, 4254, 5620, 85476, 1900, 384, etc...
Critério de divisibilidade por 3
Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarimos é 3, 6 ou 9.
Observe alguns números divisíveis por 3 a partir do 132 e a partir do 660.
132, 135, 138, 141, 144, 147
660, 663, 666, 669, 672, 675
Vejamos de 3 é um dos divisores de 132
Note que se 132 é divisível por 3 então 123, 231, 213, 321, 312 também serão. Vejamos agora o número 660 e 675:
Critério de divisibilidade por 9
Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 9.
Observe que a soma dos algarismos de cada um desses números é um número divisível por 9.
567, 2.259, 4.104, 6.399 e 1089
Note que, ao adicionar os algarismos de cada um desses números, obtemos um número divisível por 9 pois.
Nota
- Se um número é divisível por 9, ele também será por 3, pois um dos critérios de divisibilidade por 3 é que a soma de 9
- Se 9 é um dos divisores de 1089, então também serão os números:
Critério de divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Ou seja tem que ter o últimos algarismo sendo 0, 2, 4, 6 ou 8 e a soma de todos ser 3, 6 ou 9.
Veja alguns números divisíveis por 6 a partir do 60.
O número 3.548 é divisível por 4, assim como o número 48. Veja:
60 66 72 78 84 90 96 102 108 114
O 102 por exemplo é "divisível por 2 pois termina em 0, 2, 4, 6 ou 8" no caso o algarismo 2 e é "divisível por 3 pois a soma dos seu algarismos é igual a 3, 6 ou 9" no caso 1 + 0 + 2 = 3
Critério de divisibilidade por 4
Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4.O número 3.548 é divisível por 4, assim como o número 48. Veja:
Critério de divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando termina em zero ou em 5.
Observe alguns números divisíveis por 5.
60, 65, 70, 75, 80, 85 ...
Critério de divisibilidade por 8
Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos são 000 ou formam um número divisível por 8.
O número 75246301824 é divisível por 8, assim como o número 824.
O número 75246301824 é divisível por 8, assim como o número 824.
Critério de divisibilidade por 10, 100, 100, ...
Um número natural é divisível:
• por 10 quando termina em 0;• por 100 quando termina em 00;
• por 1.000 quando termina em 000.
Veja alguns números divisíveis por 10, por 100 e por 1.000.
• Números divisíveis por 10:
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 ...
• Números divisíveis por 100:
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1.000 1.100 ...
• Números divisíveis por 1.000:
1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 ...
Critério de divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
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Critério de divisibilidade por 11
Exemplos:
Vejamos se 1089 é divisível por 11
Agora veremos se 29458 é divisível por 11
Existem outros divisores com outras regras. Pra maiores estudos indico o link abaixo:
http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/naturais/divisibilidade.htm#m103b11
a) Um comerciante comprou as primeiras 1000 caixas fabricadas, quantas caixas premiadas adquiriu? Explique como pensou.
5.1 Bruno e Sandra compraram 240 tabletes de chocolate em uma fábrica para revendê-los na feira. Eles decidiram embalar os tabletes de chocolate em saquinhos de papel, de forma
que todos tivessem a mesma quantidade e sem sobrar nenhum tablete. Bruno sugeriu comprar 60 saquinhos e Sandra disse que 50 era melhor.
b) Existem outras quantidades possíveis de saquinhos que Bruno e Sandra poderiam comprar para atender às condições iniciais? Escolha 5 possibilidades diferentes que poderiam ser sugeridas para os dois comprarem. Você encontrou alguma quantidade de saquinhos que não indicaria? Por quê?
D (240) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120 e 240}.
Sim, qualquer quantidade de saquinhos que não pertence ao conjunto dos divisores de 240 resultaria numa sobra de tabletes de chocolate. Das quantidades de saquinho, espera-se que o estudante perceba que comprar 1 saquinho, implicaria colocar todos os tabletes de chocolate em um único saquinho, discuta se nessa
condição seria interessante para realizar a venda. Caso os estudantes tenham descartado mais algum divisor, observe qual argumento que utilizou. É importante observarem que a quantidade a ser distribuída deve ser coerente com a situação do problema.
http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/naturais/divisibilidade.htm#m103b11
CADERNO DO ALUNO
Caderno do Aluno
4.1 Um fabricante de sabão em pó, pensando em aumentar sua produção, planejou oferecer um prêmio, em dinheiro, a quem encontrasse um cartão premiado na caixa desse produto. Preocupado em não perder de vista as embalagens premiadas, programou sua máquina para que incluísse o cartão premiado apenas nas caixas que, pela ordem de fabricação, coincidissem com os múltiplos de 250. Respeitando a ordem de fabricação, também para as vendas, oportunizaria atender a todos os seus comerciantes e evitaria que os prêmios saíssem para uma mesma região.
Considerando a situação acima responda:
a) Um comerciante comprou as primeiras 1000 caixas fabricadas, quantas caixas premiadas adquiriu? Explique como pensou.
Comprando as primeiras 1000 caixas fabricadas ele terá na sua loja quatro prêmios (250, 500, 750 e 1000). Os estudantes deverão observar que nesse intervalo há quatro múltiplos de 250 ou efetuando 1000 ÷ 250 = 4, isto é, em mil há 4 vezes o 250 exatamente, pois 250 é divisor de
1000.
b) É possível calcular quantas caixas premiadas levará o comerciante que comprar as 1600 caixas seguintes? Explique seu raciocínio.
Partindo da caixa 1001, os estudantes deverão verificar que serão 6 premiadas (1250, 1500, 1750, 2000, 2250 e 2500), pois as 1660 caixas seguintes, vai até a caixa 2600. O efetuando 1600 ÷ 250 = 6,4, isto é, em 1600 não há um número inteiro de vezes o 250, pois 250 não é divisor de 1600, por isso, vão sobrar algumas caixas que não são premiadas. Importante discutir com os estudantes o que é o divisor de um número e sua relação com o resto.
c)É possível calcular exatamente quantas caixas premiadas levou um comerciante que comprou 300 caixas de sabão? Explique o seu raciocínio.Não é possível calcular exatamente o número de caixas premiadas nesse caso, devido à falta de informação sobre a série de fabricação.
Por exemplo:
a)Na série de fabricação de 249 a 548, levará as caixas de ordem de fabricação, 250 e 500, logo, levará 2 caixas premiadas, pois 548 – 299 = 299, incluindo a caixa de série de fabricação 249, teremos as 300 caixas.
b)Na série 251 a 550, levará apenas 1 caixa premiada, a de ordem de fabricação 500, pois 550 – 251 = 299, incluindo a caixa 251, temos 300 caixas.
Por exemplo:
a)Na série de fabricação de 249 a 548, levará as caixas de ordem de fabricação, 250 e 500, logo, levará 2 caixas premiadas, pois 548 – 299 = 299, incluindo a caixa de série de fabricação 249, teremos as 300 caixas.
b)Na série 251 a 550, levará apenas 1 caixa premiada, a de ordem de fabricação 500, pois 550 – 251 = 299, incluindo a caixa 251, temos 300 caixas.
5.1 Bruno e Sandra compraram 240 tabletes de chocolate em uma fábrica para revendê-los na feira. Eles decidiram embalar os tabletes de chocolate em saquinhos de papel, de forma
que todos tivessem a mesma quantidade e sem sobrar nenhum tablete. Bruno sugeriu comprar 60 saquinhos e Sandra disse que 50 era melhor.
a) Qual seria a melhor opção em relação à quantidade de saquinhos para embalar os tabletes de chocolate? Registre sua conclusão e compare com a solução de seu colega.60 saquinhos é a melhor opção, pois 240 ÷ 60 = 4, tendo 4 tabletes em cada saquinho sem sobrar nenhum tablete de chocolate e nenhum saquinho. Com 50 saquinhos, temos 240 ÷ 50 = 4,8, tendo 50 saquinhos com 4 tabletes em cada, sobrando 40 tabletes de chocolate sem embalar.
b) Existem outras quantidades possíveis de saquinhos que Bruno e Sandra poderiam comprar para atender às condições iniciais? Escolha 5 possibilidades diferentes que poderiam ser sugeridas para os dois comprarem. Você encontrou alguma quantidade de saquinhos que não indicaria? Por quê?
Resposta: Sim, existem. A quantidade de saquinho deverá ser um divisor de 240.
D (240) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120 e 240}.
Sim, qualquer quantidade de saquinhos que não pertence ao conjunto dos divisores de 240 resultaria numa sobra de tabletes de chocolate. Das quantidades de saquinho, espera-se que o estudante perceba que comprar 1 saquinho, implicaria colocar todos os tabletes de chocolate em um único saquinho, discuta se nessa
condição seria interessante para realizar a venda. Caso os estudantes tenham descartado mais algum divisor, observe qual argumento que utilizou. É importante observarem que a quantidade a ser distribuída deve ser coerente com a situação do problema.